\documentclass{physlecture}

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[russian]{babel}
\usepackage{bm, amsmath, amssymb, amsfonts}
\usepackage{float, graphicx}
%\usepackage{flexisym, breqn, bracemath}
\usepackage{mymathutils}

\author{Д.\,А.~Паршин, Г.\,Г.~Зегря}
\lecturenumber{11}
\course{Квантовая механика}

\newcommand{\energy}{\varepsilon}

\DeclareMathOperator{\Rot}{rot}
\DeclareMathOperator{\Div}{div}
\DeclareMathOperator{\Grad}{grad}
\renewcommand{\vec}[1]{\mathbf{#1}}
\begin{document}
  \maketitle
  \tableofcontents
%Feynmann т.3 гл.37 ``Квантовое поведение''
  \section{Волна де-Бройля для нерелятивистской частицы.}
    Согласно идеям де-Бройля, любая чатица может быть охарактеризована плоской
    монохроматической волной
    \begin{equation}
      \psi(\vec{r}, t) = Ae^{\frac{i}{\hbar}\left( \dotprod{\vec{p}}{\vec{r}} -
      \energy t \right)},
    \label{eq:debroille}
    \end{equation}
    причём
    \begin{equation*}
      \frac{p\lambda}{\hbar} = 2\pi,
    \end{equation*}
    то есть,
    \begin{equation*}
      \lambda = \frac{2\pi\hbar}{p}
    \end{equation*}
    --- длина волны де-Бройля.

    Энергия релятивистской частицы выражается законом
    \begin{equation}
      \energy = \frac{m_0c^2}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} = m_0c^2 + \frac{mv^2}{2} + \dots.
    \label{eq:relenergy}
    \end{equation}
    
    В нерелятивистском приближении остаются только два первых члена:
    \begin{equation}
      \energy \simeq m_0c^2 + \frac{mv^2}{2} = m_0c^2 + \frac{p^2}{2m}
    \label{eq:nonrelenergy}
    \end{equation}

    Тогда волна де-Бройля приобретает следующий вид:
    \begin{equation}
      \psi(\vec{r}, t) = Ae^{\frac{i}{\hbar}\left( \dotprod{\vec{p}}{\vec{r}} -
      E_{\vec{p}} t \right)},
    \label{eq:nonreldebroille}
    \end{equation}
    где \(E_{\vec{p}} = \energy - m_0c^2 = \frac{p^2}{2m}\) --- полная энергия в
    классической механике.
  \section{Оператор импульса.}
    Введём \emph{оператор импульса}:
    \begin{equation}
      \hat{\vec{p}} = -i\hbar\nabla.
    \label{eq:DefOpMomentum}
    \end{equation}
    Подействуем им на волновую функцию:
    \begin{equation}
      \hat{\vec{p}}\psi = -i\hbar \left( \frac{i}{\hbar}\vec{p} \right)\psi = \vec{p}\psi.
    \label{eq:OpMomentum}
    \end{equation}

    Операторы, обладающие таким свойством --- в общем виде,
    \begin{equation}
      \hat{f}\psi = f\psi,
    \label{eq:OpOfValue}
    \end{equation}
    --- называются \emph{операторами физической величины}, а соответствующая им
    волновая функция \(\psi \equiv \psi_f\) -- \emph{собственной функцией} данного
    оператора.

    Таким образом, волна де-Бройля является собственной функцией оператора импульса:
    \begin{align*}
      \psi_{\vec{p}} &= Ae^{\frac{i}{\hbar}\dotprod{\vec{p}}{\vec{r}}}, &
      \hat{\vec{p}}\psi_{\vec{p}} = \vec{p}\psi_{\vec{p}}.
    \end{align*}
  \section{Оператор Гамильтона в свободном пространстве.}
    Если применить оператор импульса к де-бройлевской волне дважды, получим
    \begin{equation*}
      \hat{\vec{p}}\cdot\hat{\vec{p}}\psi_{\vec{p}} = 
      \hat{\vec{p}} \vec{p} \psi_{\vec{p}} = 
      i\hbar\nabla\vec{p} \psi_{\vec{p}} = 
      \vec{p}i\hbar\nabla\psi_{\vec{p}} = 
      \vec{p} \hat{\vec{p}} \psi_{\vec{p}} = 
      \vec{p} \vec{p} \psi_{\vec{p}}.
    \end{equation*}
    Другими словами,
    \begin{equation}
      \hat{\vec{p}}{\kern+2pt}^2 \psi_{\vec{p}} = p^2\psi_{\vec{p}}.
    \label{eq:pSquare}
    \end{equation}
    Заметим также, что
    \begin{equation}
      \hat{\vec{p}}{\kern+2pt}^2 = (i\hbar\nabla)^2 = -\hbar^2\Delta.
    \label{eq:pSquareLaplacian}
    \end{equation}
    Разделим \eqref{eq:pSquare} на \(2m\):
    \begin{equation}
      \frac{\hat{\vec{p}}{\kern+2pt}^2}{2m}\psi_{\vec{p}} = \frac{p^2}{2m}\psi_{\vec{p}} = E_{\vec{p}} \psi_{\vec{p}}.
    \label{eq:pEnergy}
    \end{equation}
    Этот оператор называется \emph{оператором Гамильтона}:
    \begin{equation}
      \hat{H} = \frac{\hat{\vec{p}}{\kern+2pt}^2}{2m} = -\frac{\hbar^2}{2m}\Delta.
    \label{eq:Hamiltonian}
    \end{equation}
  \section{Уравнение Шрёдингера для волн де-Бройля в свободном пространстве.}
    Найдём следующую производную:
    \begin{equation}
      i\hbar \frac{\partial\psi}{\partial t} = i\hbar \left( -\frac{i}{\hbar} \right)E_{\vec{p}}\psi = E_{\vec{p}}\psi.
    \label{eq:SchroedingerLeft}
    \end{equation}

    Таким образом, волна де-Бройля удовлетворяет \emph{уравнению Шрёдингера}:
    \begin{equation}
      i\hbar \frac{\partial\psi}{\partial t} = \hat{H}\psi.
    \label{eq:Schroedinger}
    \end{equation}
  \section{Оператор Гамильтона в потенциальном поле. Уравнение Шрёдингера для
  волн де-Бройля в потенциальном поле.}
    Полученное уравнение также можно переписать следующим образом:
    \begin{eqnarray*}
      i\hbar \frac{\partial\psi}{\partial t} &=& \left( -\frac{\hbar^2}{2m}\Delta \right)\psi, \\
      i\hbar \frac{\partial\psi}{\partial t} + \frac{\hbar^2}{2m} \Delta\psi &=& 0, \\
      \frac{p^2}{2m}\psi + \frac{\hbar^2}{2m}\Delta \psi &=& 0.
    \end{eqnarray*}
    Но \(\frac{p^2}{2m} = K\) --- кинетическая энергия частицы. Её можно выразить
    через полную энергию: \(K = E - U(\vec{r})\). Подставим её в таком виде в уравнение:
    \begin{equation*}
      \frac{\hbar^2}{2m}\Delta\psi + \left[ E - U(\vec{r}) \right]\psi = 0,
    \end{equation*}
    или
    \begin{equation}
      E\psi = \left[ -\frac{\hbar^2}{2m}\Delta + U(\vec{r}) \right]\psi.
    \label{eq:SchroedingerPotField}
    \end{equation}
    Здесь \(-\frac{\hbar^2}{2m} = \frac{\hat{\vec{p}}{\kern+2pt}^2}{2m} =
    \hat{H}\) --- оператор кинетической энергии, а \(U(\vec{r})\) --- оператор
    потенциальной энергии.

    Определение гамильтониана обобщим, пусть теперь это будет оператор полной энергии:
    \begin{equation}
      \hat{H} = \frac{\hat{\vec{p}}{\kern+2pt}}{2m} + U(\vec{r}).
    \label{eq:newHamiltonian}
    \end{equation}

    Так, уравнение Шрёдингера принимает вид
    \begin{equation}
      \hat{H}\psi = E\psi,
    \label{eq:shortSchroedinger}
    \end{equation}
    или
    \begin{equation}
      \left[ -\frac{\hbar^2}{2m}\Delta + U(\vec{r}) \right]\psi = E\psi.
    \label{eq:statSchroedinder}
    \end{equation}
    Так как при выводе предполагалось, что потенциальная энергия не зависит от
    времени, полученное уравнение называется \emph{стационарным} уравнением
    Шрёдингера.

    В неоднородном потенциальном поле, то есть, при \(U(\vec{r}) \neq \const\),
    решение этого уравнения уже не будет являться плоской волной де-Бройля, а будет
    иметь вид
    \begin{equation*}
      \psi(\vec{r}, t) =  Ae^{-\frac{i}{\hbar}Et}\psi(\vec{r}).
    \end{equation*}

    Не при всех значениях \(E\) это уравнение имеет решения. Те значения \(E\),
    при которых решения существуют, называются \emph{стационарными состояниями}.
    На волновую функцию при этом накладываются лишь условия конечности и
    однородности.
%Если спектр дискретный, то нужно решать такую задачу:
%\begin{equation*}
%  \hat{H}\psi_n(\vec{r}) = E_n\psi(\vec{r}),
%\end{equation*}
%а точнее,
%\begin{equation*}
%  \left[ -\frac{\hbar^2}{2m}\Delta + U(\vec{r}) \right]\psi_n = E_n\psi_n.
%\end{equation*}

  \section{Аналогия с оптикой в неоднородной среде. Аналогия между принципом
  Ферма в оптике и принципом Мопертюи в классической механике.}
    Запишем уравнение Шрёдингера в виде
    \begin{equation*}
      \frac{\hbar^2}{2m}\Delta\psi + \left[ E - U(\vec{r}) \right]\psi = 0.
    \end{equation*}
    Сравним его с уравнениями Максвелла в неоднородной среде:
    \begin{align*}
      \Rot\vec{E} &= -\frac{1}{c}\frac{\partial\vec{H}}{\partial t}, &
      \Rot\vec{H} &= \frac{1}{c}\frac{\partial\vec{D}}{\partial t},
    \end{align*}
    где \(\vec{D} = \varepsilon(\vec{r})\vec{E}\).
    Составим из них волновое уравнение. Для этого выразим
    \begin{equation*}
      \Rot\Rot\vec{E} = -\frac{1}{c}\frac{\partial}{\partial t}\Rot\vec{H} = 
      -\frac{1}{c}\frac{\partial}{\partial t}\frac{1}{c}\frac{\partial D}{\partial t}.
    \end{equation*}
    Применим равенство \(\Rot\Rot = \Grad\Div - \Delta\):
    \begin{equation*}
      \Grad\Div\vec{E} - \Delta\vec{E} = -\frac{1}{c}\frac{\partial^2\vec{D}}{\partial t^2},
    \end{equation*}
    или же
    \begin{equation}
      \Delta\vec{E} - \frac{\varepsilon}{c}\frac{\partial^2 \vec{E}}{\partial t^2} = 0.
    \label{eq:WaveEq}
    \end{equation}

    Получили волновое уравнение. Будем искать его решение в виде монохроматической
    волны (\(E \sim e^{i\omega t}\)).
    \begin{equation*}
      \frac{\partial^2 \vec{E}}{\partial t^2} = -\omega^2\vec{E}.
    \end{equation*}
    Подставим в уравнение:
    \begin{equation}
      \Delta\vec{E} + \frac{\omega^2}{c^2}\varepsilon(\vec{r})\vec{E} = 0.
      \label{eq:WaveEqSolved}
    \end{equation}

    Геометрическая оптика является предельным случаем волновой оптики при
    \(\lambda \to 0\). Уравнение для лучей получается из принципа Ферма:
    \begin{equation}
      \delta\int_{(1)}^{(2)}kdl = 0.
    \label{eq:Fermat}
    \end{equation}
    Здесь \(k = \frac{\omega}{c}\sqrt{\varepsilon}\). Так как \(\omega = \const\) и
    \(c = \const\), они не участвуют в вариационном принципе, так что получаем
    \begin{equation}
      \delta\int_{(1)}^{(2)}\sqrt{\varepsilon(\vec{r})}dl = 0.
    \label{eq:FermatE}
    \end{equation}

    Как легко заметить, уравнение Шрёдингера имеет такой же вид, как и
    \eqref{eq:WaveEqSolved}:
    \begin{equation*}
      \frac{\hbar^2}{2m}\Delta\psi + \left[ E - U(\vec{r}) \right]\psi = 0,
    \end{equation*}
    но в нём роль множителя \(\frac{\omega^2}{c^2}\varepsilon(\vec{r})\)
    исполняет множитель \(\frac{2m}{\hbar^2}\left[ E - U(\vec{r}) \right]\).
    Значит, для него в ``геометрическом'' пределе будет верен такой же
    вариационный принцип:
    \begin{equation}
      \delta\int_{(1)}^{(2)}\sqrt{2m(E - U(\vec{r}))}dl = 0.
    \label{eq:Maupertuis}
    \end{equation}
    Как нетрудно заметить, это принцип Мопертюи из классической механики.

    Это сходство демонстрирует, что классическая механика так соотносится с
    квантовой, как геометрическая оптика с волновой.

\end{document}
